不等式基础-白红宇

不等式基础

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发布时间：2019-06-12

本文共 6837 字，大约阅读时间需要 22 分钟。

鸣谢：zzt，ych，快膜拜啊

大家好我是hrh，最近某些人在D我，于是今天我有点生气，收录了一发不等式问题。如果你是队员我没话讲，否则都给我闭嘴。先掂量一下你们的水平，再考虑要不要随便怼人。

由于我不用latex渲染和屏幕背景，我事先说明，我用(a)^(b)表示a的b次方，如a^0.5表示根号a。如果因为我不写latexD我，那我也没有办法。

高中大学基础的不等式有调和算术几何幂平均不等式，均值不等式以及均值不等式的推广（级数形式），三角换元调和式，柯西不等式，权方和不等式应用和伯努利不等式（同样的级数推广），排序不等式，切比雪夫不等式，舒尔不等式，母不等式。在WC里面出现的多是均值不等式，所以一定要学好基础。国队的选拔题基本不走这个套路，就没有走不等式的套路了。

我的顺序式从简单到复杂，不等式的证明我不再给出，因为太简单了。

阿贝尔变换

这个变换主要在省赛出现，大概是大题的第一题，公式如下。

k=1∑n(AkBk)=SnBk+k=1Σn-1Sk(Bk-Bk+1)

然后我们容易得到拉格朗日恒等式，顺便带过和式变换：(m个Σ)1=C(m,n+m-1)，我们通过数学归纳法证明，过程略过。

上题：2001年省赛题，题目不贴，省赛题没什么好贴的，太水。大家自己做，然后讲思路。

思路：我们对阿贝尔变换求逆，然后柯西一波就满分了。

模式变换

额，循环和会不会，老套路。这个变换我不用讲，就是轮换式法则啊。

上题：我还是贴一下题目吧。

0<a,b,c<1,证明(1+a)^(-0.5)+(1+b)^(-0.5)+(1+c)^(-0.5)<=3*[1+(abc)^(1/3)]^(-0.5)

经典的模式变换，我们乱搞一下就出来答案了。

残余问题

求导积分，留坑

留坑在此，凸函数，Jensen预定。

还有不动点之类的，这个我不是很会，暂时没法填坑。

无理函数我们用三角还原，或者是转换为圆锥曲线的切线问题，略。

复合函数的留坑在此，是一试的重点。

复平面的问题，利莫夫公式展开，双曲暴力也可以。留坑在此

上面的几个热点专题，可以去问zzt，今天因为初赛模拟居然有一题挂了被他说菜，我只好坦然接受。睿智的我不知道三角形面积公式。

然后我要安利一下我的数列那一章，其实还可以。

下面才是重点部分

我们正式进入国赛部分，我虽然没有进过队，但是经验可不会少于队员们。

均值不等式和柯西不等式

首先均值不等式是初中生就会的，基本结论如下：

0<ab<(a+b)*(a+b)/4,

2*sqrt(ab)<a+b<sqrt[2*(a*a+b*b)]

推广式：[(A1+A2+A3...An)/n]^n>=A1A2A3...An

弱化式：[(a+b+c+d)/4]^4>=abcd

变换式自己yy，太多，比如[(a*a+b*b)/2]^(0.5)>=0.5(a+b)之类

柯西不等式是个很优秀的东西，但是要小心越界。

标准式：(Σai*ai)*(Σbi*bi)>=(Σaibi)^2

推广式：sqrt(Σai)*sqrt(Σbi)>=Σsqrt(aibi)

其实这个推广式非常水，和切比雪夫一样水，哈哈。

上题：http://www.docin.com/p-67858410.html中间的土耳其集训题

首先我们注意到a^3+b^3+c^3>=3abc

得到3sqrt(xyz)<=x*x*sqrt(yz)+y*y*sqrt(xz)+z*z*sqrt(xy)

构造加强式：6xyz<=x*x*sqrt(yz)+y*y*sqrt(xz)+z*z*sqrt(xy)<=x*x(y+z)+y*y(x+z)+z*z(x+y)

所以：9xyz<=(x+y+z)(xy+yz+xz)

故(x+y)(y+z)(x+z)>=8/9(x+y+z)(xy+yz+xz)

继续构造加强式：27/4(x+y)(y+z)(x+z)>=[sqrt(x+y)+sqrt(y+z)+sqrt(x+z)]^2>=3[sqrt((x+y)(y+z))+sqrt((y+z)(x+z))+sqrt((x+y)(x+z))]>=9[(x+y)(y+z)(x+z)]^(1/3)>=9*[8/9*(x+y+z)]^(1/3)>=6sqrt(3)

中间我们运用了舒尔不等式，都差不多。点评一下这一题：国队的较难题，也不是不好想，综合性太强了一般的省队队员都不会做，hrh做了2个小时。1小时做出来的都是神仙。

上题：2005年波罗的海奥林匹克：a,b,c>0,abc=1,证明a/(a*a+2)+b/(b*b+2)+c/(c*c+2)<=1

特么的我现在还是不会做，这一题真的是惨无人道。

然后2007年的北方赛估计福州没有人会做的，母不等式的梗。

其实真的很好想到，柯西然后取倒数，求和。

上题：42届IMO，这一题很有名，一题多解。

首先我的做法是柯西均值一起上，刚下去了。然后居然是构造函数的裸题！我们构造一个形如a^3/(a^3+b^3+c^3)的函数求和即可。

最后推荐一下46，47IMO的赛题，都是按照4个小时的水平出卷的，非常有难度。

总结一下我们的套路：柯西和均值通常一起出现，要综合起来考虑，然后大家需要备好常用的结论，看到那个形式就知道用什么变形。比如3(x*x+y*y+z*z)>=(x+y+z)^2就是一个基础推论。

作业意思一下：2007亚太奥赛，2009塞尔维亚国家集训队

PS：上面那两题如果有新的做法，记得来踩hrh

大家好我是hrh，我又回来了，昨天睡了5个小时，现在是22点，开始更新

ydf同学表示他看不懂我的文字，是不是没救了？不是的呃，其实是我没救了，写的东西别人看不懂。

昨天遇到一个有趣的题目，求f(x)=2*sqrt(x-3)+ sqrt(5-x)的值域。

这一题是非常简单的，但是这就是一个引例而已，是柯西不等式的应用。注意到[2*sqrt(x-3)+1*sqrt(x-5)]^2<=(2^2+1^2)*[(x-3)+(5-x)]=sqrt(10)

于是这个值域就是[根号2,根号10]

接下来是大招：2017年初赛的柯西填空题，忍不住吐槽一句，这张考卷我唯一不会的是一道概率题。

这一题看起来很简单，其实注意到柯西的条件，发现条件是充要的。我们柯西换元暴力带数据，出来一个二次根号方程，就是一个四次方程。

四次方程的事情，我被ych误导了啊，唯一的可行方案就是猜数据了。本来可以求导做这类题目，但是变成了一个6次方程。

判断第一个零点我们用牛顿迭代，然后一直对多项式降幂就可以了，不过那几个根都是共轭复数，GG。

于是上面的问题可以进行推广：求sqrt(x-9)+sqrt(2x-15)+sqrt(31-3x)的值域。算出来一定要D我，我除了解四次方程没有做法。下面是推荐的题目：

2004年法国国家队：若Ai,Bi均为正实数，且(i=1到n∑Ai)=1,(i=1到n∑Bi)=1。求i=1到n∑[Ai*Ai/(Ai+Bi)]的最小值

答案是0.5。柯西一步解决。最后我们除个2就AC了。为了照顾到大家的智商，我决定把过程写一下。

因为∑Ai=1,∑Bi=1，得∑(Ai+Bi)=2，即∑sqrt(Ai+Bi)^2=2。

于是[∑sqrt(Ai+Bi)^2][i=1到n∑[Ai*Ai/(Ai+Bi)]]>=[∑Ai/sqrt(Ai+Bi)*sqrt(Ai+Bi)]^2=(∑Ai)^2=1，于是上式<=1/2=0.5，证毕。

警告：我发现我忘记介绍柯西不等式的高中形式了！这个还是问百度吧，这篇文章不适合高考学生阅读。

我讲一下琴生不等式，对于一个f(x)，如果是在某区间是凸函数，则f(a)+f(b)》=2*f(a/2+b/2)，注意上凸和下凸的区别，凸函数可以通过观察法估计，或者是二次求导恒大于0。求导的问题可以看清华的高数上册，人大和同济的也可以。

权方和不等式和伯努利不等式

首先我属于保守派，叫它伯努利，不叫贝努利。然后我们进入正题。

权方和不等式用来做一些指数的问题，这个类型的证明题大量出现在WC和CMO中。鉴于这个不等式大家基本都不会用，我们就先了解一下。

首先是闵可夫斯基不等式和赫尔德不等式，杨氏不等式。这几个不等式学过狭义相对论的都知道估计。但是我专攻的是复变函数论，代数学基础，微分几何和三角级数论。对于拓扑和数理分析没有深入的研究，自然不知道这三个东西。只需要知道这个权方和不等式的结论即可。先推荐一篇：http://www.doc88.com/p-991284016538.html

权方和定理如下：若实数m>0或m<-1，有∑[Ai^(m+1)/Bi^m]>=[(∑Ai)^(m+1)]/[(∑Bi)^m]

若-1<m<0，有∑[Ai^(m+1)/Bi^m]<=[(∑Ai)^(m+1)]/[(∑Bi)^m]，就是说，权方和不等式需要分类研究。

等号成立的条件是。。。算了你们自己想。

权方和不等式的推广1：p>1或p<0,且p-q<=1,∑(Ai^p/Bi^q)>=(∑Ai}^p/(∑Bi)^q，这个是下凸函数的推理得到的。

推广2：若p>=2,0<q<=1,有∑(Ai^p/Bi^q)>=n^(1-p+q)*(∑Ai}^p/(∑Bi)^q.看起来很简单，其实都是非常变态的推论。

然后是伯努利不等式的标准式：若x>=-1，有(1+x)^n>=1+nx。怎么证明呢？翻开高等数学辅导清华大学数学系第二版，有详细的证明。其实就是等价无穷小啦？

然后是小推论：若a,t>0,n>=2,有a^n>=na*t^(n-1)-(n-1)*t^n。

然后我们讲一道例题：2003白俄罗斯奥赛：若∑Ai=1,∑Bi=1，求∑[An*An/(An+Bn)]的最小值。

话说这一题怎么辣么眼熟啊？原来2004的法国队直接照抄了原题哈哈哈。

简单死了：权方和直接秒杀：垃圾集训队，都是水题。

下一题是IMO42的嘿嘿嘿，这一题我已经有5个做法了。。。题目自己查

由于∑[a/sqrt(a*a+8bc)]=∑[a^1.5/sqrt(a^3+8abc)]>=(a+b+c)^1.5/sqrt(a^3+b^3+c^3+24abc)=[(a+b+c)^3/(a^3+b^3+c^3+24abc)]^0.5。

然后证明(a+b+c)^3>=a^3+b^3+c^3+24abc，舒尔不等式容易证明。

2003省赛：若1.5<=x<=5,求证2sqrt(x+1)+sqrt(2x+3)+sqrt(15x-3)<2根号19。

如果暴力会死得很惨，就是求导或者是柯西，很容易GG。我们用权方和就好做了。

构造一个差次函数，得到原式<=[2(x+1)+(2x+3)+(15-3x)]^0.5/(1+1+1+1)^(-0.5)=2sqrt(x+14)<=2sqrt(19)。

练习题：IMO28试题，自己搜题，这里不给。思路就是链式顺推权方和第一结论即可。

写了这么多的权方和不等式，就讲一下伯努利不等式吧！估计大家都忘了，来来来：(1+t)^n>=1+nx

首先是2017年天津倒一：证明[1+2^(-2)][1+3^(-2)][1+4^(-2)]...[1+n^(-2)]<2,其中n>=2

水死了，证明略。

这一题：求证：(1-3^-1)(1-3^-2)...(1-3^-n)>0.5，n是正整数

证明如下：n=1时，显然成立。

n>=2时：有(1-3^-k)^3>1-3*(3^-k)=1-3^(1-k)。

所以：Tn^3>(1-1/3)^3*(1-3^-1)*(1-3^-2)*...*(1-3^1-n)>(1-1/3)^3Tn

故Tn^2>=(1-3^-1)Tn。证毕

练习一下：1980年苏联题。我不贴题目，证明略，太简单了。

还有就是26届的AMC，证明1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(a^3+c^3+abc)<=1/(abc)

这一题：有伯努利的推广定理得到：a^3>=3abb-2b^3，然后a^3+b^3>=aab+abb，所以a^3+b^3+abc>=abc(a+b+c)，根据模式变换易证。

作业：36届IMO试题（全部<(︶︿︶)>_╭∩╮╭∩╮），还有下面这一题：

若a,b,c>0,a+b+c=1,求1/x+4/y+9/z的值域（超简单）。

hrh困了，他睡觉去了。

排序不等式和切比雪夫不等式

我是HRH，我又回来了。今天我看大到了14年的福建初赛倒一，居然是逐步调整，我在此感谢zzt同学的帮助。

我昨天听说我们班的大佬是我的粉丝，天天等着我更新，我不胜感激。排序不等式的概念是：若A1>0，B1>0,An,Bn单调递增。则同序积的和大等于乱序积的和大等于反序积的和。这是通过逐步调整来证明的。然后我们看一下切比雪夫不等式。这个不等式是说：若Ai，Bi是单调的，有(1/n)∑(AiBi)<=[(1/n)*∑Ai][(1/n)*Bi]。当时我在想：这个不等式很奇怪啊！为什么不化简一下？然后变成：n∑AiBi<=∑Ai∑Bi。这个是原型哈，但是为了方便取均值，转变成了1/n的形式哦。

推论：p，q同号时：∑Ai^(p+q)>=1/n*(Ai^p)*∑(Xi^q)。同类的，有p,q异号的结论成立。

然后是加权的切比雪夫不等式：∑Mi*∑(MiAiBi)>=∑(Mi*Ai)*∑(MiBi)，证明略。

例题：若a,b,c>0,证明1/a+1/b+1/c<=(a^8+b^8+c^8)/abc。

今天时间比较紧迫，我只贴这一题。我们看出这个是排序不等式的构型，于是发现：a和1/a的排序顺序相反。1/a+1/b+1/c=∑a*a/a^3，这时候我们乱序一下啊！得到了a^2/c^3+b^2/a^3+c^2/b^3。我们再次使用结论：得到∑(a^5/c^3*a^3)<=目标式，结论证毕。

2000年韩国集训队：a,b,c单减，x,y,z单减。证明：∑[aaxx/(by+cz)(bz+cy)]>=0.75

这一题真的骚。。。首先分母变形：(by+cz)<=[(b+c)()y+z)/2]^2，轮换式法则略。

于是等价于证明：A=∑[aaxx/(b+c)^2(y+z)^2]>=3/16

由于A>=1/3∑[ax/(b+c)(y+z)]^2，这里是有均值不等式推论得到的：推论是：3(a*a+b*b+c*c)>=(a+b+c)^2，很好证。

记[ax/(b+c)(y+z)]=B。

因为a,b,c,x,y,z单调性：a/(b+c)形式的分式单调性已知。

有切比雪夫不等式：B>=1/3∑(a+b/c)∑[x/(y+z)]的结论成立。...1️⃣

由柯西不等式：∑(b+c)*∑[1/(b+c)]>=9成立。得到：∑[a/(b+c)]>=1.5，带入1️⃣式，同理带入轮换式，证毕。